Absurdos Matemáticos

          Um absurdo matemático é uma demonstração que leva a resultados impossíveis, como 2=1, por exemplo. É claro que sempre há nas entrelinhas dessas demonstrações absurdos que quanto mais escondidos, mais tornam o absurdo interessante. E o nosso objetivo  é descobrir onde está o absurdo.

Confira a seguir alguns:

2 = 1

Considere dois números, a e b, reais e diferentes de zero. Vamos supor que: a = b

Multiplicando os dois lados da igualdade por a, temos a * a = b * a, ou seja a² = ab

Subtraindo b² dos dois lados da equação, temos: a² - b² = ab - b²

Colocando b em evidência no lado direito da equação, temos: (a + b)(a - b) = b(a - b)

Então, dividimos ambos os lados da equação por (a - b): 

 Simplificando, temos: a + b = b

Considerando que a = b, podemos substituir a primeira variável pela segundo, obtendo b + b = b. Portanto: 2b = b.

Dividindo ambos os lados por b, 

chegamos a conclusão: 2 = 1.

 

O ERRO:

O erro encontra-se quando dividimos a equação por (a - b). Pois se a = b, então a - b = 0 e divisão por zero não existe!

 

4 > 5 

 

Começamos com a seguinte inequação:

 

Se 3 elevado a 4 (3^4) é igual a 81 e se 3 elevado a 5 (3^5) é igual a 243, 

podemos simplificar para:

 

Aplicando logaritmo nos dois lados, temos: 

 

Agora aplicamos a propriedade logaritmo de um potência: 

 Dividindo ambos os lados por:

 

concluímos que: 4 > 5

  O ERRO:

 

é um número negativo (aproximadamente -1,099). Dividir inequação por número negativo faz com que o sinal de > se inverta, levando a conclusão correta: 4 < 5.

Soma Positiva, Resultado Negativo

Vamos considerar que S é a soma dos termos infinitos de uma progressão geométrica (PG) de números positivos, com razão 2, considerando o primeiro termo igual a 1.

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...)

A partir do segundo termo, todos os termos são múltiplos de 2. Se colocarmos o 2 em evidência temos:

S = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...)

Como sabemos que:

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...)

Concluímos que:

S = 1 + 2S

S - 2S = 1

S = -1

 

O ERRO:

 A questão é conceitual: não faz sentido somar números infinitos. Infinito mais 1 ou vezes 2, por exemplo, da no mesmo infinito. Sendo assim, não da para tratar S como uma variável comum, pois 

S = 2S = 3S = 4S e assim por diante.

-1 = 1

Começamos com a seguinte igualdade: -24 = 24

Então escrevemos o número -24 de duas formas diferentes: 

16 - 40 = 36 - 60

Os números 16, 40 ,36 e 60 também podem ser escritos  da seguinte forma:

(4 * 4) - (2 * 4 * 5) = (6 * 6) - (2 * 6 * 5)

Somamos o número 25 (o equivalente a 5 * 5) nos dois lados da equação:

(4 * 4) - (2 * 4 * 5) + (5 * 5) = (6 * 6) - (2 * 6 * 5) + (5 * 5)

 Veja que tanto do lado esquerdo como no lado direito temos um binômio do ao quadrado: o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois números, mais o quadrado do segundo. Assim, podemos reescrever a equação desta forma: 

(4 - 5)² = (5 - 6)² 

Eliminando o quadrado nos dois lados da equação, temos: 

4 - 5 = 6 - 5

Resultado do cálculo final:

-1 = 1

  

O ERRO:

No sexto passo, a raiz quadrada de um número elevado ao quadrado é igual ao módulo desse número. O correto, portanto, seria:

|4 - 5| = |6 - 5|

|-1| = |1|

1 = 1 

Referência: Revista Petrobras Conhecer